Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線 y=kx+b與x 軸、y 軸相交干A(6，0)，B(0，3)兩點，動點C在線段OA上,將線段CB 繞著點C順時針旋轉90°得到CD,此時點D恰好落在直線AB上,過點D 作DE⊥x 軸于點E

(1)求直線y=kx+b 的表達式及點D 的坐標；

(2)若點P在y 軸上,點Q在直線AB上,是否存在以C、D、P、Q 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,直接寫出所有滿足條件的Q 點坐標，若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，1）;（2）Q的坐標為或

【解析】

（1）用待定系數法先求出直線解析式，由旋轉角為90°，可證得∠BCO=∠CDE，從而得到△BOC≌△CED，所以OC=DE，BO=CE=3，設OC=DE=m, 則點D（m+3，m），代入解析式求出m,進而得到點D的坐標.（2）分三種情況畫出圖形，結合平行四邊形的性質求出點的坐標即可.

解：

（1）將A（6，0）、B（0，3）代入直線y=kx+b得，

∴

，

∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠BCO=∠CDE，

∵BC=CD，

∴△BOC≌△CED，

∴OC=DE，BO=CE=3，

設OC=DE=m,

∴D（m+3，m）

把D（m+3，m）代入得，

，

∴m=1 ，

∴D（4，1），

（2）如圖，①作CP∥AB交y軸于P,作PQ∥CD交AB于Q,則四邊形PCDQ是平行四邊形，設,將C（1，0）代入得，b=,

∴，

∴P（0，），

∵點C向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到D,

∴點P向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到Q,

∴Q

② 作P′Q′∥CD交y軸于P′,交AB于Q′,則四邊形Q′CDP′是平行四邊形，

∵PQCD，P′Q′CD，

∴PQ P′Q′，

∴P′Q′PQ是平行四邊形，

∴Q′,Q關于點B對稱，

∴Q′，

③ 當CD為對角線時，四邊形DPCQ′′為平行四邊形，

同①，由平移可得Q′′，

∴Q的坐標為或