Question

【題目】如圖1，在∠A內部有一點P，連接BP、CP，請回答下列問題：

（1）求證：∠P＝∠1+∠A+∠2；

（2）如圖2，利用上面的結論，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　；

（3）如圖3，如果在∠BAC間有兩個向上突起的角，請你根據前面的結論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關系，直接寫出結論即可．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）180°；（3）∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠A

【解析】

(1)連接AP并延長，再根據三角形內角與外角的性質即可求出∠BPC=∠1+∠A+∠2；

(2)先把五角星五個“角”歸結到一個三角形中，再根據三角形內角和定理解答即可；

(3)分別連接AP、AD、AG并延長，再根據三角形外角的性質解答即可．

(1)連接AP并延長，如圖：

則∠3=∠2+∠BAP，∠4=∠1+∠PAC，

∴∠BPC=∠1+∠PAC+∠2+∠BAP =∠1+∠A+∠2；

(2)如圖：

∵∠1是△DBF的外角，

∴∠1=∠B+∠D，

∵∠2是△ECG的外角，

∴∠2=∠C+∠E，

∵∠1、∠2、∠A是△AFG的內角，

∴∠1+∠2+∠A=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

(3) ∠4+∠5=∠1+∠2++∠3+∠A．理由如下：
作射線AP、AG，連結AD，如圖，

由（1）得∠4=∠3+∠BAD+∠ADP，∠5=∠ADG+∠1+∠DAC，
∴∠4+∠5=∠1+∠BAD+∠ADP+∠ADG+∠3+∠DAC=∠1+∠2+∠3+∠A．

故答案為：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．