Question

【題目】定義：如圖1，點把線段分割成,若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱是線段的勾股點。

(1)已知點是線段的勾股點，若,求的長。

(圖1) （圖2） （圖3）

(2)如圖2，點是反比例函數上的動點，直線與坐標軸分別交與兩點，過點分別向軸作垂線，垂足為，且交線段于。試證明：是線段的勾股點。

(3)如圖3，已知一次函數與坐標軸交與兩點，與二次函數交與兩點，若是線段的勾股點，求的值。

Answer 1

【答案】(1) 或者;(2)見解析;(3)

【解析】分析：(1) 分兩種情況:①當MN為最大線段時,由勾股定理求出BN;②當BN為最大線段時,由勾股定理求出BN即可;(2)根據題意可得點A、B、E的坐標，并得出△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形，利用兩點之間的距離公式可得BF、AE、EF的長，進而求出從而得證;(3) 過C作CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F, 設C，D,由根與系數的關系和根的判別式可得，由OE+OF=3，OB=3可得OE=BF，由△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形，可得AC=BD，由AC=BD=a=，EF=，可得m的值.

詳解：（1）由題意，BN為斜邊時，BN=

BN為直角邊時，BN=

∴ BN的長為或者.

（2）易知A（2,0），B（0,2）且P（a,b）由題意知E（a,-a+2），且△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形.

∴ BF==，AE=，EF=

可求出,∴E、F是線段AB的勾股點.

（3）由題意，∵C、D為A、B的勾股點，所以C、D必在A、B之間,

過C作CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F。

由題意，設C，D

聯立,得

∴ ,

且

∴OE+OF=3

又∵OF+BF=3 ∴OE=BF

∵以AC、CD、BD為斜邊的三個三角形都為等腰直角三角形。

∴ AC=BD

則由題意必有 且 ,

設AC=BD=a,則CD=，又AB=

∴

∴EF= ,

∴

解得