Question

【題目】我們規定：橫、縱坐標相等的點叫做“完美點”.

(1)若點A(x，y)是“完美點”，且滿足x+y=4，求點A的坐標；

(2)如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A坐標為(0，4)，連接OB，E點從O向B運動，速度為2個單位/秒，到B點時運動停止，設運動時間為t.

①不管t為何值，E點總是“完美點”；

②如圖2，連接AE，過E點作PQ⊥x軸分別交AB、OC于P、Q兩點，過點E作EF⊥AE交x軸于點F，問：當E點運動時，四邊形AFQP的面積是否發生變化？若不改變，求出面積的值；若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)A(2，2)；(2)①證明見解析；②當E點運動時，四邊形AFQP的面積不變，面積為8.

【解析】

（1）根據“完美點”定義可求點A坐標；（2）①由題意可求直線OB的解析式y=x，點E在直線OB上移動，則可證結論；②根據題意可證△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，則可求四邊形AFQP的面積．

解(1)∵點A(x，y)是“完美點”

∴x=y

∵x+y=4

∴x=2，y=2

∴A點坐標(2，2)

(2)①∵四邊形OABC是正方形，點A坐標為(0，4)，

∴AO=AB=BC=4∴B(4，4)

設直線OB解析式y=kx過B點

∴4=4k，k=1

∴直線OB解析式y=x

設點E坐標(x，y)

∵點E在直線OB上移動

∴x=y

∴不管t為何值，E點總是“完美點”.

②∵E點總是“完美點”.

∴EQ=OQ

∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x軸

∴四邊形AOQP是矩形

∴AP=OQ，AO=PQ=4

∴AP=EQ

∵AE⊥EF

∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°

∴∠FEQ=∠EAP

∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°

∴△APE≌△EFQ

∴PE=FQ

∵S四邊形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8

∴當E點運動時，四邊形AFQP的面積不變，面積為8.