Question

【題目】（教材回顧）課本88頁，有這樣一段文字：人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律．

（數(shù)學(xué)問題）三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，如果在它的內(nèi)部再畫n個(gè)點(diǎn)，并以這(n+3)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形？

（問題探究）為了解決這個(gè)問題，我們可以從n=1，n=2，n=3等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．

三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)	圖形	最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)
1		3
2		5
3		7
…	…	…

（問題解決）

(1) 當(dāng)三角形內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多剪得的三角形個(gè)數(shù)為______________；

(2) 你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加______個(gè)；

(3) 猜想：當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得_______________個(gè)三角形；

像這樣通過對簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．

（問題拓展）

（4）請你嘗試用歸納的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）2；（3）2n+1；（4）n2+2n+1．

【解析】

（1）利用表格中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化可推出n=4時(shí)，最多剪得的三角形的個(gè)數(shù)；

（2）利用（1）中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可；

（3）利用（2）中變化規(guī)律即可得出當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得三角形的個(gè)數(shù)；

問題拓展：利用補(bǔ)項(xiàng)法求出答案.

（1）∵當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多可以剪得3個(gè)三角形；

當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多可以剪得5個(gè)三角形；

當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多可以剪得7個(gè)三角形；

∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，最多可以剪得9個(gè)三角形；

故答案為：9；

（2）由（1）的結(jié)果可得出：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加2個(gè)；

故答案為：2；

（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，

∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得(2n+1)個(gè)三角形；

故答案為：2n+1；

【問題拓展】

1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）

= [1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]

=（n+1）（1+2n+1）

=（n+1）2

=n2+2n+1．