Question

【題目】如圖，已知一次函數的圖像與軸交于點，一次函數的圖像與軸交于點，且與軸以及一次函數的圖像分別交于點、，點的坐標為.

（1）關于、的方程組的解為______________.

（2）關于的不等式的解集為__________________.

（3）求四邊形的面積；

（4）在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）點坐標為或.

【解析】

（1）把D（-2，m）代入y=x-2可得D的坐標．由圖象可得結論；

（2）觀察圖象可得結論；

（3）過點D作DH⊥AB于H．根據S四邊形OADC=SΔABD-SΔOBC計算即可；

（4）分三種情況討論：①當點E為直角頂點時，過點D作DE1⊥x軸于E1，即可得出結論；

②當點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；③當點D為直角頂點時，過點D作DE2⊥CD交x軸于點E2．設E2（t，0），利用勾股定理即可得出結論．

（1）∵D（-2，m）在y=x-2上，

∴m=-2-2=-4，

∴D（-2，-4）．

由圖象可知：關于x、y的方程組的解為；

（2）由圖象可知：關于x的不等式x-2≥4x+b的解集為x≤-2；

（3）如圖1，過點D作DH⊥AB于H．

由（1）知D（-2，-4），

∴DH=2．

在y=x-2中，當x=0時，y=-2，

∴A（0，-2）．

把D（-2，-4）代入y=4x+b得：-4=4×（-2）+b，解得：b=4．

∴B（0，4），

∴直線BD的函數表達式為y=4x+4．

∴AB=4-（-2）=6，

∴SΔABD=ABDH=×6×2=6．

在y=4x+4中，當y=0時，0=4x+4，解得：x=-1．

∴C（-1，0），

∴OC=1．

∵B（0，4），

∴OB=4，

∴SΔOBC=OBOC=×4×1=2，

∴S四邊形OADC=SΔABD-SΔOBC=6-2=4．

（4）如圖2，①當點E為直角頂點時，過點D作DE1⊥x軸于E1．

∵D（-2，-4），

∴E1（-2，0）

②當點C為直角頂點時，x軸上不存在點E．

③當點D為直角頂點時，過點D作DE2⊥CD交x軸于點E2．設E2（t，0）．

∵C（-1，0），E1（-2，0），

∴CE2=-1-t，E1E2=-2-t．

∵D（-2，-4），

∴DE1=4，CE1=-1-（-2）=1．

在中，由勾股定理得：．

在中，由勾股定理得：．

在中，由勾股定理得：．

∴（-1-t）2=t2+4t+20+17

解得：t=-18．

∴E2 （-18，0）．

綜合上所述：點E坐標為（-2，0）或（-18，0）．