Question

【題目】如圖，在中，，，，在邊上，在線段上，，是等邊三角形，邊交邊于點，邊交邊于點．

求證：；

當為何值時，以為圓心，以為半徑的圓與相切？

設，五邊形的面積為，求與之間的函數解析式（要求寫出自變量的取值范圍）；當為何值時，有最大值？并求的最大值．

Answer 1

【答案】證明見解析； 當時，以為圓心，以為半徑的圓與相切； 當時，有最大值，最大值為．

【解析】

（1）由AB=AC，∠B=30°，根據等邊對等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；

（2）首先過點M作MH⊥BC，設BD=x，由以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函數，即可求得答案；

（3）首先求得△ABC的面積，繼而求得△BDM的面積，然后由相似三角形的性質，可求得△CNE的面積，再利用二次函數的最值問題，即可求得答案．

∵，

∴，

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

過點作，

∵以為圓心，以為半徑的圓，則與相切，

∴，

設，

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

解得：，

∴當時，以為圓心，以為半徑的圓與相切；

過點作于，過點作于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由得：，

∴，

∴，

∵是等邊三角形且，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

當時，有最大值，最大值為．