Question

【題目】如圖①，已知△ABC內接于⊙O，BC交直徑AD于點E，過點C作AD的垂線交AB的延長線于點G，垂足為F，連接OC．

（1）求證：∠ACB＝∠G；

（2）如圖②，連接OB，若AB＝AE，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接CD，根據圓周角定理和垂直的定義可得結論；
（2）過O作OG⊥AB于G，設CF＝x，則AF＝2x．通過證得△COF≌△OAN（AAS），得到AN＝OF，ON＝CF＝x．設OF＝a，則OA＝OC＝2xa，根據勾股定理列方程得：（2xa）2＝x2＋a2，則a＝x，代入面積公式可得結論．

（1）證明：如圖①，連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°．

∴∠ACB+∠BCD＝90°．

∵AD⊥CG，

∴∠AFG＝∠G+∠BAD＝90°．

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠G；

（2）解：如圖②，過點O作ON⊥AB于點N，連接CD，設CF＝x，

∵tan∠CAF＝＝，

∴AF＝2x．

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠ABC＝∠G+∠BCG，∠AEB＝∠ACB+∠DAC，

∵∠ACB＝∠G；

∴∠BCG＝∠DAC，

∴＝，

∵AD⊥CH，

∴＝，

∴2＝，

∴2∠CAD＝∠BAD，

∵∠COF＝2∠CAD，

∴∠COF＝∠BAD，

∵OC＝OA，∠OFC＝∠ONA＝90°，

∴△COF≌△OAN（AAS）．

∴AN＝OF，ON＝CF＝x．

設OF＝a，則OA＝OC＝2x﹣a，在Rt△COF中，CO2＝CF2+OF2，

∴（2x﹣a）2＝x2+a2．

∴a＝x．

∴OF＝AN＝x．

∵OA＝OB，ON⊥AB，

∴AB＝2AN＝x．

∴．