Question

【題目】已知拋物線：與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1，若動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求直線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線m的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接BC交拋物線對(duì)稱軸n于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，由拋物線的函數(shù)表達(dá)式可得出拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OE，CD的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，y）（0≤y≤6），則OM=y，CM=6-y，由△DMC∽△MEO，利用相似三角形的性質(zhì)可求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D，M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線DM的函數(shù)表達(dá)式．

（1）拋物線：經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，

，解得：

拋物線的表達(dá)式為：．

（2）如圖1．連接與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，

和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

對(duì)稱軸為，且有，

，

兩點(diǎn)之間線段最短，

的周長(zhǎng)最小值為，

此時(shí)與對(duì)稱鈾的交點(diǎn)為所求，

：經(jīng)過(guò)，的直線為，

當(dāng)時(shí)，，則．

（3）如圖2，對(duì)稱軸為．

點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為

點(diǎn)在線段上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，，，

又，，

由，得：，即，

解得：或4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

①當(dāng)，時(shí)，有，即．

直線的表達(dá)式為；

②當(dāng)，時(shí)，有，即．

直線的表達(dá)式為：

綜上所述：所求自線的表達(dá)式為或．