Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+6x+c（a≠0）交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，﹣5），點B的坐標為（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式及定點坐標；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并說明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5，

∵y=﹣（x﹣3）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為（3，4）；

（2）

解：拋物線的對稱軸與⊙C相離．理由如下：

當y=0時，﹣x2+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，則C（5，0），

∴BC=4，

在Rt△OAB中，AB= = ，

作CE⊥BD于E點，如圖1，

∵AB⊥BD，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

而∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBE，

∴Rt△ABO∽Rt△BCE，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ，

∵⊙C與BD相切，

∴⊙C的半徑為 ，

∵點C到對稱軸x=3的距離為2，

而2＞ ，

∴拋物線的對稱軸與⊙C相離；

（3）

解：存在．

（I）當∠PCA=90°時，如圖3，CP交y軸于Q，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，

∴∠PCO=45°，

∴△OCQ為等腰直角三角形，

∴OQ=OC=5，

∴Q（0，5），

易得直線CQ的解析式為y=﹣x+5，

解方程組 得 或 ，此時點P坐標為（2，3）；

（II）當∠PAC=90°時，如圖4，過點P作PF⊥y軸于點F，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OAC=45°；

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF為等腰直角三角形．

設點P坐標為（t，﹣t2+6t﹣5），

∵AF=PF，

∴﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t解得t=0或t=7，此時點P坐標為（7，﹣12），

綜上所述，存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．點P的坐標為（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得關于a、c的方程組，然后解方程組即可，再把解析式配成頂點式即可得到拋物線的頂點坐標；（2）先解方程﹣x2+6x﹣5=0得C（5，0），則BC=4，再利用勾股定理計算出AB= ，作CE⊥BD于E點，如圖1，證明Rt△ABO∽Rt△BCE，利用相似比可計算出CE= ，則根據切線的性質得⊙C的半徑為 ，然后根據直線與圓的位置關系的判定方法判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系；（3）討論：當∠PCA=90°時，如圖3，CP交y軸于Q，利用△AOC為等腰直角三角形可得到△OCQ為等腰直角三角形，則直線CQ的解析式為y=﹣x+5，于是解方程組 得此時點P坐標；當∠PAC=90°時，如圖4，過點P作PF⊥y軸于點F，利用△AOC為等腰直角三角形得到△PAF為等腰直角三角形．設點P坐標為（t，﹣t2+6t﹣5），則﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t，然后解方程求出t即可得到此時點P坐標．