Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于C(0，﹣3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

(1)求這個二次函數的表達式．

(2)連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)存在，P點的坐標為(，)；(3)P點的坐標為(，)，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP'C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．

將B、C兩點的坐標代入得：，

解得：，

所以二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）存在點P，使四邊形POP'C為菱形．

設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），PP'交CO于E．

若四邊形POP'C是菱形，則有PC=PO．連接PP'，如圖1，則PE⊥CO于E．

∵C（0，﹣3），

∴CO=3．

又∵OE=EC，

∴OE=EC，

∴y，

∴x2﹣2x﹣3，

解得：x1，x2（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（）．

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，如圖2，

設P（x，x2﹣2x﹣3），

設直線BC的解析式為：y=kx+d，則，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，則Q點的坐標為（x，x﹣3）．

當0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

ABOCQPBFQPOF

當時，四邊形ABPC的面積最大．

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．