Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)P．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，直線(xiàn)DP與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，補(bǔ)全圖形并說(shuō)明理由．

（2）在（1）的條件下，當(dāng)BP＝，AD＝3時(shí)，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；理由見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示，情況一：點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)D與OD垂直的直線(xiàn)與BC的交點(diǎn)處，根據(jù)切線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論；情況二：如圖，當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DP與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，連接CD，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DP=CP，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由題意可知在Rt△BCD中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=2BP，求得BC=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，

情況一：點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)D與OD垂直的直線(xiàn)與BC的交點(diǎn)處，

理由：經(jīng)過(guò)半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；

情況二：如圖，當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DP與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

證明：連接CD，OD，如上圖，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

∴DP＝CP，

∴∠PDC＝∠PCD，

∵∠ACB＝90°，

∴∠PCD+∠DCO＝90°，

∵OD＝OC，

∴∠DCO＝∠ODC，

∴∠PDC+∠ODC＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP⊥OD，

∴直線(xiàn)DP與⊙O相切；

（2）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，P是BC的中點(diǎn)，

∴BC＝2BP，

∵BP＝，

∴BC＝，

∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，

∴△ACB∽△CDB，

∴，

∴，

設(shè)AB＝x，

∵AD＝3，

∴BD＝x﹣3，

∴x（x﹣3）＝（）2，

∴x＝5（負(fù)值舍去），

∴AB＝5，

∵∠BDC＝90°，

∴AC＝＝，

∴OC＝AC＝，

即⊙O的半徑為．