Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交x軸于點H，交直線AB于點F，作PG⊥AB于點G．求出△PFG的周長最大值；

（3）在拋物線y=-x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M，使得△ABM與△ABD的面積相等？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；；（2）△PFG周長的最大值為：； （3）M1（-2，3），M2（，），M3（，）．

【解析】

（1）將已知點的坐標代入二次函數的解析式利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；

（2）首先根據△PFG是等腰直角三角形，設P（m，-m2-2m+3）得到F（m，m+3），進而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，從而得到△PFG周長為：-m2-3m+（-m2-3m），配方后即可確定其最大值；

（3）當DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等時，根據同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM1解析式為：y=x+5和直線M3M2解析式為：y=x+1，聯立之后求得交點坐標即可．

（1）∵直線AB：y=x+3與坐標軸交于A（-3，0）、B（0，3），

代入拋物線解析式y=-x2+bx+c中

，

∴

∴拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，

設P（m，-m2-2m+3），

∴F（m，m+3），

∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，

△PFG周長為：-m2-3m+（-m2-3m），

=-（+1）（m+）2+，

∴△PFG周長的最大值為：．

（3）點M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．

此時DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等，

∵D（-1，4），

∴E（-1，2）、則N（-1，0）

∵y=x+3中，k=1，

∴直線DM1解析式為：y=x+5，

直線M3M2解析式為：y=x+1，

∴x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3，

∴x1=-1，x2=-2，x3=，x4=，

∴M1（-2，3），M2（，），M3（，）．