Question

【題目】如圖，在邊長為8的等邊三角形ABC中，點D沿射線AB方向由A向B運動，點F同時從C出發，以相同的速度每秒1個單位長度沿射線BC方向運動，過點D作DE⊥AC，連結DF交射線AC于點G．

（1）當DF⊥AB時，求AD的長；

（2）求證：EG＝AC．

（3）點D從A出發，經過幾秒，CG＝1.6？直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）t＝4.8s或11.2s時，CG＝1.6．

【解析】

（1）設AD=x，根據直角三角形的性質列出方程，解方程即可；
（2）過點D作DH∥BC，交AC于點H，則∠HDG=∠F，先判定△ADH是等邊三角形，再根據等量代換得到DH=FC，進而判定△DHG≌△FCG（AAS），得到HG=CG，再根據△ADH為等邊三角形，DE⊥AH，得出AE=EH，最后得出AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；
（3）分兩種情形解答即可；

解：（1）設AD＝x，則CF＝x，BD＝8﹣x，BF＝8+x，

∵DF⊥AB，∠B＝60°，

∴BD＝BF，即8﹣x＝（8+x），

解得，x＝，即AD＝；

（2）如圖所示，過點D作DH∥BC，交AC于點H，則∠HDG＝∠F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ADH＝∠AHD＝∠A＝60°，

∴△ADH是等邊三角形，

∴AD＝DH，

又∵點D與F的運動速度相同，

∴AD＝CF，

∴DH＝FC，

在△DHG和△FCG中，

，

∴△DHG≌△FCG（AAS），

∴HG＝CG，

∵△ADH為等邊三角形，DE⊥AH，

∴AE＝EH，

∴AC＝AH+CH＝2EH+2HG＝2EG，

∴EG＝AC．

（3）由（2）可知CG＝GH＝1.6，

∴AD＝AH＝8﹣3.2＝4.8或AD＝AH＝8+3.2＝11.2，

∴t＝4.8s或11.2s時，CG＝1.6．