Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，DF∥AC，CF∥BD．

（1）求證：四邊形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，計算tan∠DCF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠DCF＝．

【解析】

（1）根據已知條件得到四邊形OCFD是平行四邊形，根據菱形的性質得到∠DOC＝90°，即可得到結論；

（2）根據菱形的性質得到AD＝CD，得到CD＝5，OD＝OB＝BD，求得OD＝4，根據矩形的性質得到OD＝CF，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：∵DF∥AC，CF∥BD，

∴四邊形OCFD是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠DOC＝90°，

∴平行四邊形OCFD是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

∵AD＝5，

∴CD＝5，

∵菱形ABCD兩條對角線交于O，

∴OD＝OB＝BD，

∴OD＝4，

∵四邊形OCFD是矩形，

∴OD＝CF，

∴在Rt△CFD中，CF2+DF2＝CD2，

∴DF＝3，

∴tan∠DCF＝＝．