Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2tx+2．

（1）求拋物線的對稱軸（用含t的代數式表示）；

（2）將點A（﹣1，3）向右平移5個單位長度，得到點B．

①若拋物線經過點B求t的值；

②若拋物線與線段AB恰有一個交點，結合函數圖象直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）直線x＝t；（2）①t＝；②t≤﹣1或t＝1或t＞時，拋物線與線段AB有一個公共點．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸公式計算即可；

（2）①求得B點的坐標，代入解析式就可以求得t的值；

②求頂點的坐標可知，拋物線的頂點在拋物線y＝x2＋2上移動，求得拋物線與直線y＝3的交點．再求出拋物線過點A、點B時，t的值，結合圖象即可求出t的取值范圍．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2tx+2，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝t，

即拋物線的對稱軸為直線x＝t；

（2）點A（﹣1，3）向右平移5個長度單位，得到點B（4，3），

①∵拋物線經過點B，

∴3＝﹣16+8t+2，

解得t＝；

②∵y＝﹣x2+2tx+2＝﹣（x﹣t）2+t2+2，

∴頂點的坐標為（t，t2+2），

由頂點的坐標可知，拋物線的頂點在拋物線y＝x2+2上移動．

把y＝3代入y＝x2+2求得x＝±1，

當拋物線過點A（﹣1，3）時，t＝﹣1．

所以t≤﹣1或t＝1或t＞時，拋物線與線段AB有一個公共點．