Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y＝ax2（a≠0）與一次函數y＝kx+b的圖象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）兩點，點P是拋物線上不與A，B重合的一個動點，點Q是y軸上的一個動點．

（1）請直接寫出a，k，b的值及關于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；

（2）當點P在直線AB上方時，請求出△PAB面積的最大值并求出此時點P的坐標；

（3）是否存在以P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面積的最大值為，此時點P的坐標為（，）；（3）P的坐標為（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐標為：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得a，k，b的值，根據圖象即可得出不等式的解集；（2）過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，兩者交于點C，連接PC．設點P的橫坐標為m，則點P的縱坐標為﹣m2．過點P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．則D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根據S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入數據即可得S△APB與m的二次函數關系式，利用二次函數求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大．再求得點P的坐標即可；（3）（3）根據平行四邊形的性質和坐標特點解答即可．

解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，

把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，

解得：，

所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，

關于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，

（2）過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，兩者交于點C．

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，

設點P的橫坐標為m，則點P的縱坐標為﹣m2．

過點P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．則D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），

∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．

∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC

＝

＝

＝．

∵＜0，，﹣1＜m＜2，

∴當時，S△APB 的值最大．

∴當時，，S△APB＝，

即△PAB面積的最大值為，此時點P的坐標為（，）

（3）存在三組符合條件的點，

當以P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形時，

∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

可得坐標如下：

①P′的橫坐標為﹣3，代入二次函數表達式，

解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；

②P″的橫坐標為3，代入二次函數表達式，

解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；

③P的橫坐標為1，代入二次函數表達式，

解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．

故：P的坐標為（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），

Q的坐標為：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．