Question

【題目】截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．

（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．

解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，根據∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問題．

根據上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是；（直接寫出結果）

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2）DA＝DB＋DC（或寫成2DA2＝(DB＋DC)2），證明詳見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．

（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2DA2=（DB+DC）2.

解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案為：DA=DC+DB；

（2） DA＝DB＋DC（或寫成2DA2＝(DB＋DC)2）．

延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE．

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，

∴∠ABD＋∠ACD＝180°．

∵∠ACE＋∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE．

又∵AB＝AC，CE＝BD，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠DAE＝∠BAC＝90°．

∴DA2＋AE2＝DE2．

∴2DA2＝(DB＋DC)2．

∴DA＝DB＋DC．