Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B（4，0），與過A點的直線相交于另一點D（3，），過點D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P在線段OC上（不與點O，C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，NE⊥AD于點E，求NE的最大值；

（3）若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t．是否存在t，使以點M，C，D，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）；（3）t＝時，以點M，C，D，N為頂點的四邊形是平行四邊形

【解析】

（1）把B（4，0），點D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出拋物線的解析式；
（2）先用含t的代數式表示P、M坐標，再根據三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數關系式，然后運用配方法可求出△PCM面積的最大值；
（3）若四邊形DCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關于t的二元一次方程，解方程即可得到結論．

（1）將點B、D的坐標代入二次函數表達式得：

，解得：，

則函數的表達式為：y＝﹣x2+x+1；

（2）設直線AD函數表達式為：y＝mx+n，將點A（0，1）、D （3，）代入得：

解得：

∴直線AD的表達式為：y＝x+1，

∴A點的坐標為(0，1）

設直線AD 與x軸交于H點，則H(-2，0)

∴tan∠AHO=，

∵PN⊥x軸， NE⊥AD

則tan∠ENP=an∠AHO=，則cos∠ENP=，

設點N（m，﹣m2+m+1）、點M（m+1），

則NE=MNcos∠ENP=（﹣m2+m+1﹣m﹣1）=﹣（m﹣）2+，

故當m=時，則NE的最大值為；

（3）設：OP＝t，則點M（t， t+1）、N（t，﹣t2+t+1），

∴|MN|=|-t2+t+1-t-1|=|-t2+t|，CD=，
如圖1，如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即-t2+t=，整理得：3t2-9t+10=0，
∵△=-39，
∴方程無實數根，
∴此種情況不存在t，
如圖2，如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即t2-t=，
∴t=或（負值舍去），
∴當t=時，以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．