Question

【題目】如圖，已知銳角內接于⊙O， 于點D，連結AO.

⑴若.

①求證：；

②當時，求面積的最大值；

⑵點E在線段OA上，，連接DE，設，（m、n是正數），若，求證：

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②△ABC面積的最大值是；（2）見解析.

【解析】

（1）①連接OB，OC，由圓的性質可得答案；

②先作AF⊥BC，垂足為點F，要使得面積最大，則當點A，O，D在同一直線上時取到

再根據三角形的面積公式即可得到答案；

（2）先設∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由銳角三角形性質得到

即 ，再結合題意及三角形內角和的性質得到

兩式聯立即可得到答案.

（1）①證明：連接OB，OC，

因為OB=OC，OD⊥BC，

所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°，

所以OD=OB=OA

②作AF⊥BC，垂足為點F，

所以AF≤AD≤AO+OD=，等號當點A，O，D在同一直線上時取到

由①知，BC=2BD=，

所以△ABC的面積

即△ABC面積的最大值是

（2）設∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，

因為△ABC是銳角三角形，

所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，

即 （*）

又因為∠ABC<∠ACB，

所以∠EOD=∠AOC+∠DOC

因為∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，

所以（**）

由（*），（**），得，

即