Question

【題目】在□ABCD中，經過A、B、C三點的⊙O與AD相切于點A，經過點C的切線與AD的延長線相交于點P，連接AC．

（1）求證：AB＝AC；

（2）若AB＝4，⊙O的半徑為，求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）

【解析】

（1）連接AO并延長交BC于點E，交⊙O于點F，由切線的性質可得∠FAP=90°，根據平行四邊形的性質可得∠AEB=90°，由垂徑定理點BE=CE，根據垂直平分線的性質即可得AB=AC；（2）連接FC，OC，設OE＝x，則EF＝－x，根據AF為直徑可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的長，利用勾股定理可證明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，進而可得EC、BC的長，由平行線性質可得∠PAC=∠ACB，由切線長定理可得PA=PC，即可證明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代換可得∠ABC=∠PAC，即可證明△PAC∽△ABC，根據相似三角形的性質可求出AP的長，根據PD=AP-AD即可得答案.

（1）連接AO并延長交BC于點E，交⊙O于點F．

∵AP是⊙O的切線，AF是⊙O的直徑，

∴AF⊥AP，

∴∠FAP＝90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠AEB＝∠FAP＝90°，

∴AF⊥BC．

∵AF是⊙O的直徑，AF⊥BC，

∴BE＝CE．

∵AF⊥BC，BE＝CE，

∴AB＝AC．

（2）連接FC，OC．

設OE＝x，則EF＝－x．

∵AF是⊙O的直徑，

∴∠ACF＝90°．

∵AC＝AB＝4，AF＝2，

∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，

∴CF＝＝2．

∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴CE2＝OC2－OE2．

∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，

∴CE2＝CF2－EF2．

∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即－x2＝22－（－x）2．

解得x＝．

∴EC＝＝．

∴BC＝2EC＝．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝．

∵AD∥BC，

∴∠PAC＝∠ACB．

∵PA，PC是⊙O的切線，

∴PA＝PC．

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．

∴△PAC∽△ABC，

∴＝．

∴AP＝·AB＝2．

∴PD＝AP－AD＝．