Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，連接GB，交AF于N，且FN=FD．

（1）求證：△GFN≌△GFD；
（2）如圖，連接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求證：AN=AB；

（3）如圖2，延長AF、BC交于點E，過B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB與KF之間有何數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵FG平分∠AFD，

∴∠NFG=∠GFD，

在△GFN和△GFD中， ，

∴△GFN≌△GFD（SAS）

（2）

證明：連接AC，如圖1所示：

∵AF⊥CD，FN=FD，

∴△DFN為等腰直角三角形，

∴∠FDN=45°，

∵∠ADC=75°，

∴∠ADN=∠ADC﹣∠FDN=75°﹣45°=30°，

在Rt△AFD中，∠FAD=90°﹣75°=15°

∵AF垂直平分CD，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠CAD=30°，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD=30°，

∴∠ADN=∠BCA，

在△ADN和△ACB中， ，

∴△ADN≌△ACB（SAS），

∴AN=AB

（3）

解：AB與KF之間有何數量關系為：AB=2KF；理由如下：

取AB中點H，連接HF、HK，如圖2所示：

∵在Rt△AKB中，H為AB中點，

∴HK= AB=AH，

∴∠HAK=∠HKA，

∵∠BAF=2∠E，

∴∠HKA=2∠E，

∵AD∥BE，

∴△AFD∽△EFC，

∴ = =1，

∴AF=EF，

∵H為AB中點，

∴HF為△ABE的中位線，

∴HF∥BE，

∴∠HFK=∠E，

∴∠HKA=2∠HFK，

∵∠HKA=∠HFK+∠FHK，

∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK，

∴∠HFK=∠FHK，

∴HK=KF，

∵HK= AB，

即AB=2HK，

∴AB=2KF．

【解析】（1）由角平分線得出∠NFG=∠GFD，由SAS證明△GFN≌△GFD即可；（2）連接AC，由等腰直角三角形的性質得出∠FDN=45°，由線段垂直平分線的性質得出AC=AD，證出∠CAD=30°，由SAS證明△ADN≌△ACB，得出對應邊相等即可；（3）取AB中點H，連接HF、HK，由直角三角形斜邊上的中線性質得出HK= AB=AH，得出∠HAK=∠HKA，證明△AFD∽△EFC，得出對應邊成比例，證出AF=EF，證明HF為△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出HF∥BE，得出∠HFK=∠E，由角的關系得出∠HFK=∠FHK，得出HK=KF，即可得出結論．