Question

【題目】如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，點G為垂足．

（1）求證：DC＝BE；

（2）若∠AEC＝69°，求∠EDG的度數．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)67°

【解析】

（1）由G是CE的中點，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到DE＝DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE＝BE＝AB，即可得到DC＝BE；

（2）由DE＝DC得到∠DEC＝∠BCE，由DE＝BE得到∠B＝∠EDB，根據三角形外角性質得到∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，則∠B＝2∠BCE，由此根據外角的性質來求∠BCE的度數即可解決問題．

解：（1）如圖，∵G是CE的中點，DG⊥CE，

∴DG是CE的垂直平分線，

∴DE＝DC，

∵AD是高，CE是中線，

∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，

∴DE＝BE＝AB，

∴DC＝BE；

（2）∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠BCE，

∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，

∵DE＝BE，

∴∠B＝∠EDB，

∴∠B＝2∠BCE，

∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，

∴∠BCE＝23°，

∵∠DGC＝90°，

∴∠GDC＝67°，

∵DE＝DC，EG＝CG，

∴∠EDG＝∠GDC＝67°．