Question

【題目】有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．現要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

（1）如果此矩形可分割成兩個并排放置的正方形，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條鄰邊長分別為多少mm？請你計算．

（2）如果題中所要加工的零件只是矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條鄰邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條鄰邊長．

Answer 1

【答案】（1）這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；（2）S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．

【解析】

試題分析：（1）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ=ymm，則PN=2ymm，易證△APN∽△ABC，由相似三角形的性質解答即可；

（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答

解：（1）設矩形的邊長PN=2ymm，則PQ=ymm，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，

即，

解得y=，

∴PN=×2=（mm），

答：這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；

（2）設PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，

∴，

即，

解得PQ=80﹣x．

∴S=PNPQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，

∴S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．