Question

【題目】在中，，點為直線上一動點（點不與點重合），以為腰作等腰直角，使，連接．

（1）觀察猜想

如圖1，當點在線段上時，

①與的位置關系為__________；

②之間的數量關系為___________（提示：可證）

（2）數學思考

如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的①、②結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；

（3）拓展延伸

如圖3，當點在線段的延長線時，將沿線段翻折，使點與點重合，連接，若，請直接寫出線段的長．（提示：做于，做于）

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝CF＋DC；（2）C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正確結論：DC＝CF＋BC，證明詳見解析；（3）

【解析】

（1）①根據正方形的性質得，∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS）；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質可得到， ，根據余角的性質即可得到結論；

（2）根據正方形的性質得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質以及等腰三角形的角的性質可得到結論；

（3）過A作 于H，過E作 于M，證明 ，推出 ， ，推出 ，即可解決問題．

（1）①正方形ADEF中，

∵

∴

在△DAB與△FAC中

∴

∴

∴ ，即 ；

②∵

∴

∵

∴

（2）BC⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正確結論：DC＝CF＋BC

證明：∵△ABC和△ADF都是等腰直角三角形

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF

在△DAB和△FAC中

∴△DAB≌△FAC（SAS）

∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°

∴∠ABD＝180°－45°＝135°

∴∠ACF＝∠ABD＝135°

∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，

∴CF⊥BC

∵CD＝DB＋BC，DB＝CF

∴DC＝CF＋BC

（3）過A作 于H，過E作 于M，

∵ ，

∴

∴

∴

∵四邊形ADEF是正方形

∴

∵

∴四邊形CMEN是矩形

∴

∵

∴

∴

在△ADH和△DEM中

∴

∴

∴

∴