Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點C，過點B作BD⊥CP于D.

(1)求證：△ACB∽△CDB；

(2)若⊙O的半徑為1，∠BCP＝30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）由CP是⊙O的切線， AB是直徑，得出∠BCD=∠BAC，∠ACB=90°，進而得到∠ACB=∠CDB=90°，即可得出結論；

（2）求出△OCB是正三角形，根據陰影部分的面積=S扇形OCB﹣S△OCB計算即可．

（1）如圖，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，∴∠BCD+∠OCB=90°，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠BCD=∠ACO，

又∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠BCD=∠BAC，

又∵BD⊥CP，

∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴△ACB∽△CDB；

（2）如圖，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，∠BCP=30°，∴∠OCB=90°－∠BCP=60°．∵OC=OB，∴△OCB是正三角形．

∵⊙O的半徑為1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，

故陰影部分的面積=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．