Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線上找一點(diǎn)，使得與垂直，且直線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在；或

【解析】

（1）利用交點(diǎn)式將拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，代入y=a（x-x1）（x-x2），求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長度，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線QC的解析式，將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，由S四邊形AEPC=S四邊形OEPC+S△AOC以及S四邊形AEPC=S△AEP+S△ACP，得出使得S△MAP=3S△ACP的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)此拋物線的表達(dá)式為

拋物線與軸交于點(diǎn)

拋物線與軸交于，兩點(diǎn)

解得

此拋物線的表達(dá)式為

（2），，

，

，

軸，

，，

，

即

又點(diǎn)在軸的正半軸上，

設(shè)直線的表達(dá)式為

則

解得

直線的表達(dá)式為：

點(diǎn)是拋物線與直線的交點(diǎn)

解得，（不合題意舍去）

此時

（3）對稱軸；

此時

點(diǎn)在直線上，

設(shè)，連接、、

直線與軸交于點(diǎn)，

，

則

又

，

，

，，．

故對稱軸上存在點(diǎn)使，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)晴】

本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．