Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；

（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF2=4ODOP，證明見解析（3），

【解析】解：（1）連接OB，

∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90°。

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB。

又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）。

∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直線PA為⊙O的切線。

（2）EF2=4ODOP。證明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。

∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴，即OA2=ODOP。

又∵EF=2OA，∴EF2=4ODOP。

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理）。

設(shè)AD=x，

∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3。

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去）。∴AD=4，OA=2x﹣3=5。

∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°。

又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=。

∵OA2=ODOP，∴3（PE+5）=25。∴PE=。

（1）連接OB，根據(jù)垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，從而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論。

（2）先證明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系，然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可。

（3）根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線，設(shè)AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，從而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=ODOP，代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長。