Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=﹣（x﹣m）2+n的頂點P在直線y=﹣x+4上，與y軸交于點C（點P、C不與點B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點P、D在y軸的同側．

（1）n=________（用含m的代數式表示），點C的縱坐標是________（用含m的代數式表示）；

（2）當點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應的函數解析式；

（3）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上時m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣m+4 ；﹣ m2﹣m+4；（2）y=﹣（x﹣2）2+2；（3）m=1或﹣1或 或

【解析】

（1）由頂點在直線上得，求得當時，即可知點C的縱坐標；

（2）由矩形的性質結合可知DE與AB的交點P的坐標為，即可得出答案；

（3）①點C、D在拋物線上時，由可知對稱軸為，即；②點C、E在拋物線上時，由和得，則4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解之可得答案．

解：（1）∵y=﹣ （x﹣m）2+n=﹣ x2+ mx﹣ m2+n，

∴頂點P（m，n），

∵P在直線y=﹣x+4上，

∴n=﹣m+4，

當x=0時，y=﹣ m2+n=﹣ m2﹣m+4，即點C的縱坐標為﹣ m2﹣m+4，

故答案為：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴DE∥y軸，

∵CD=2，

∴當x=2時，y=2，即DE與AB的交點坐標為（2，2），

∴當點P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點P的坐標為（2，2），

∴拋物線對應的函數解析式為y=﹣ （x﹣2）2+2

（3）解：如圖①②，點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為x=±1，即m=±1；

如圖③④，點C、E在拋物線上時，

由B（0，4）和CD=2得E（﹣2，4），

則4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），

解得：m1= ，m2= ，

綜上所述，m=1或﹣1或 或