Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，的平分線交于點，交于點．過點作的切線交的延長線于點，連接，．

（1）求證：，；

（2）過點分別作直線，垂線，垂足為，．若，，請你完成示意圖并求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）畫圖見解析，7

【解析】

（1）圖1中，連接，由AB是直徑可得，由角平分線的定義可求∠ECA=45°，然后根據圓周角定理可求；由OC=OE可證，然后利用余角的性質證明可證；

（2）如圖2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先證明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，設AF=BH=x，再證明四邊形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得6+x=8-x，推出x=1即可解決問題；

（1）證明：①如圖1中，連接，

∵直徑，

∴，

∴平分，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵是切線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴．

（2）如圖2中，連接，過點作于，于．

又∵平分，

∴，，

由（1）得，

∴，

∴，

∴，設，

∵，

∴四邊形是矩形，

∵，

∴四邊形是正方形，

∵，

∴，

∴，

∴．