Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦ED⊥AB于點F，點C是劣弧AD上的動點（不與點A、D重合），連接BC交ED于點G．過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P．

（1）求證：PC=PG；

（2）當點G是BC的中點時，求證：；

（3）已知⊙O的半徑為5，在滿足（2）的條件時，點O到BC的距離為，求此時△CGP的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)證明詳見解析；(3)10.

【解析】

試題分析：（1）連結OC，根據切線的性質得OC⊥PC，根據余角的性質得到∠B=∠OCG，等量代換得到∠PCG=∠BGF，根據對頂角相等得∠BGF=∠PGC，于是得到∠PGC=∠PCG，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；

（2）連結OG，由點G是BC的中點，根據垂徑定理的推論得OG⊥BC，BG=CG，根據相似三角形的性質得到，等量代換得到結論；

（3）連結OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理計算出BG=，再利用可計算出BF，從而得到OF=1，根據三角形的面積公式即可得到結論．

試題解析：（1）連結OC，如圖，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCG+∠PCG=90°，

∵ED⊥AB，

∴∠B+∠BGF=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCG，

∴∠PCG=∠BGF，

而∠BGF=∠PGC，

∴∠PGC=∠PCG，

∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之間的數量關系為．理由如下：

連結OG，如圖，

∵點G是BC的中點，

∴OG⊥BC，BG=CG，

∴∠OGB=90°，

∵∠OBG=∠GBF，

∴Rt△BOG∽Rt△BGF，

∴BG：BF=BO：BG，

∴，

∴；

（3）解：連結OE，如圖，

由（2）得OG⊥BC，

∴OG=，

在Rt△OBG中，OB=5，

∴BG==，

由（2）得BG2=BOBF，

∴BF==4，

∴OF=1，

∴FG==2，

過P作PH⊥BC于H，

∵PC=PG，

∴GH=CG=BG=，

∵∠PHG=∠BFG=90°，∠BGF=∠DGH，

∴△BFG∽△PHG，

∴，即，

∴PH=，

∴△CGP=CGPH=××=10．