Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖像過點,,與軸交于另一點,且對稱軸是直線.

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若是上的一點，作交于,當面積最大時，求的坐標；

（3）是軸上的點，過作軸，與拋物線交于,過作軸于.當以、、為頂點的三角形與、、為頂點的三角形相似時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）當t=3時，S△AMN有最大值3，此時M點坐標為（3，0）；（3）P點坐標為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【解析】（1）先利用拋物線的對稱性確定B（6，0），然后設交點式求拋物線解析式；

（2）設M（t，0），先其求出直線OA的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=2x﹣12，直線MN的解析式為y=2x﹣2t，再通過解方程組得N（t，t），接著利用三角形面積公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=4t﹣tt，然后根據二次函數的性質解決問題；

（3）設Q（m，m2﹣m），根據相似三角形的判定方法，當=時，△PQO∽△COA，則|m2﹣m|=2|m|；當=時，△PQO∽△CAO，則|m2﹣m|=|m|，然后分別解關于m的絕對值方程可得到對應的P點坐標．

（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線x=3，

∴B點坐標為（6，0），

設拋物線解析式為y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a82=4，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）設M（t，0），

易得直線OA的解析式為y=x，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴設直線MN的解析式為y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t，

解方程組得，則N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=4t﹣tt

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

當t=3時，S△AMN有最大值3，此時M點坐標為（3，0）；

（3）設Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴當=時，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此時P點坐標為（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時P點坐標為（﹣2，4）；

∴當=時，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此時P點坐標為（2，﹣1）；

綜上所述，P點坐標為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．