Question

【題目】如圖，∠MON＝90°，OB＝4，點A是直線OM上的一個動點，連結AB，作∠MAB與∠ABN的角平分線AF與BF，兩條角平分線所在的直線相交于點F，則點A在運動過程中線段BF的最小值為（　　）

A. 4B. C. 8D. 2

Answer 1

【答案】D

【解析】

分情況討論：當點A在射線OM上時，過F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，由角平分線的性質得出FH＝FG，FG＝FE，得出FH＝FE，證出點F在∠MON的角平分線上；當點A在射線OM的反向延長線上時，同理得出點F在∠MON的角平分線上；當BF⊥OF時，BF取最小值，證出△BOF是等腰直角三角形，即可得出答案．

解：當點A在射線OM上時，過F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，

如圖1所示：

∵AF與BF分別是∠MAB與∠ABN的角平分線，

∴FH＝FG，FG＝FE，

∴FH＝FE，

∴點F在∠MON的角平分線上；

當點A在射線OM的反向延長線上時，過F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB交AB的延長線于G，

如圖2所示：

∵AF與BF分別是∠MAB與∠ABN的角平分線，

∴FH＝FG，FG＝FE，

∴FH＝FE，

∴點F在∠MON的角平分線上；

綜上所述，點F在∠MON的角平分線上，

∴當BF⊥OF時，BF取最小值，

∵∠MON＝90°，OB＝4，

∴∠FON＝∠MON＝45°，

∴△BOF是等腰直角三角形，

∴BF＝OB＝2；

故選：D．