Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．

（1）在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，若AG：AB=5：13，BC=4，求DE+DF的值．

Answer 1

【答案】（1）BF=CG，理由詳見解析；（2）DF+DE=CG，理由詳見解析；（3）8．

【解析】【試題分析】（1）如圖1，BF和CG可看成△ABC的高，根據S△ABC=ACBF=ABCG，AB=AC，即可解決問題；

（2）連接AD，如圖2．由于DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，因此DF、DE、CG可分別看成△ACD、△ABD、△ABC的高，再根據S△ACD+S△ABD=S△ABC，AB=AC，即可解決問題；

（3）連接AD，如圖3．，同（2）可得：DF+DE=CG．設AG=5x，根據條件可得AC=AB=13x，運用勾股定理可得GC=12x，然后在Rt△BGC中運用勾股定理即可求出x的值，從而解決問題．

【試題解析】

（1）猜想：BF=CG．

理由：如圖1．

∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴S△ABC=ACBF=ABCG．

∵AB=AC，

∴BF=CG；

（2）猜想：DE+DF=CG．

理由：連接AD，如圖2．

∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，

∴S△ACD=ACDF，S△ABD=ABDE，S△ABC=ABCG．

∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，

∴ACDF+ABDE=ABCG．

∵AB=AC，

∴DF+DE=CG；

（3）連接AD，如圖3．

同（2）可得：DF+DE=CG．

設AG=5x，

∵AG：AB=5：13，AB=AC，

∴AC=AB=13x．

∴∠G=90°，

∴GC==12x．

在Rt△BGC中，

∵BG=AB+AG=13x+5x=18x，GC=12x，BC=4，

∴（18x）2+（12x）2=（4）2，

解得：x=，

∴DE+DF=CG=12x=8．