Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，CD∥AB，過點B的切線與射線AD交于點M，連接AC，BD．

（1）如圖l，求證：AC=BD；
（2）如圖2，延長AC、BD交于點F，作直徑DE，連接AE、CE，CE與AB交于點N，求證：∠AFB=2∠AEN；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點M作MQ⊥AF于點Q，若MQ：QC=3：2，NE=2，求QF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，OD，

∵CD∥AB，

∴∠DAB=∠ADC，

∵∠DOB=2∠DAB，∠COA=2∠CDA，

∴∠COA=∠DOB，

∴AC=BD；

（2）連接OC，

∵∠COA=∠DOB，OA=OB=OC=OD，

∴∠CAB=∠DBA，

∴△FBA是等腰三角形，

∵DE是⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∵CD∥AB，

∴∠ANC=90°，

∴AB⊥CE，

∴AC=AE，

∴∠CAN=∠EAN=∠ABF，∠ACE=∠AEN，

∵∠FAB+∠FBA+∠F=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，

∴∠F=∠ACE+∠AEC，

∴∠AFB=2∠AEN；

（3）解：連接BC交AD于P，

∵AC=BD，

∴ = ，

∴∠PAB=∠PBA，

∴PA=PB，∠PBM=∠PMB，

∴PB=PM，

∴P為AM的中點，

∵MQ⊥AF，BC⊥AF，

∴BC∥MQ，

∴ = ，

∴AC=CQ，

∵ = ，

∴ = ，

∴tan∠MAQ= ，

∴tan∠F= ，

設DF=3k，AD=4k，由勾股定理得，AF=5k=BF，

∴BD=2k，

∴tan∠ABD=2，

∴DE為直徑，

∴∠EAD=90=∠BDM，

∴AE∥BD，

∴∠EAN=∠ABD，

∴tan∠EAN=2，

∵NE=2，

∴AN=1，CN=2，

∴BN=4，AE=BD= ，

∴DF= ，AC=BD= =CQ，

∴QF=

【解析】（1）由平行線的內錯角相等性質、圓周角定理可推出AC=BD；（2）由于∠AEN是圓周角，因此2∠AEN可轉化為圓心角∠COA，問題轉化為證∠COA=∠AFB，兩個角都是等腰三角形的頂角，轉化為證底角相等，即∠CAN=∠EAN=∠ABF，由垂徑定理推論易證出結論;（3）利用圓周角定理的推論可推出tan∠MAQ= ,進而推出tan∠F= ,設出參數，求出AC，進而求出AQ，用AF減去AQ可求出QF