Question

【題目】如圖，半徑為R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F為上一點，連AF、BF、AB、AD，下列結論：①AE＝BE；②若AC⊥BD，則AD＝R；③在②的條件下，若，AB＝，則BF+CE＝1．其中正確的是（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由弦AC=BD，可得，進而可得，然后由圓周角定理，證得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；②連接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，進而可得△AOD是等腰直角三角形，則可求得AD=R；③設AF與BD相交于點G，連接CG，易證得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG，即可判斷．

①∵弦AC=BD，

∴，

∴，

∴∠ABD=∠BAC，

∴AE=BE，故①正確；

②連接OA，OD，

∵AC⊥BD，AE=BE，

∴∠ABE=∠BAE=45，

∴∠AOD=2∠ABE=90，

∵OA=OD，

∴AD=R，故②正確；

③設AF與BD相交于點G，連接CG，

∵，

∴∠FAC=∠DAC，

∵AC⊥BD，

∵在△AGE和△ADE中，

∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，∠EAG=∠DAE，

∴△AGE≌△ADE(ASA)，

∴AG=AD，EG=DE，

∴∠AGD=∠ADG，

∵∠BGF=∠AGD，∠F=∠ADG，

∴∠BGF=∠F，

∴BG=BF，

∵AC=BD，AE=BE，

∴DE=CE，

∴EG=CE，

∴BE=BG+EG=BF+CE，

∵AB=，

∴BE=ABcos45°=1，

∴BF+CE=1.

其中正確的是：①②③，故選D.