Question

【題目】問題探究

（1）如圖1．在中，，為上一點，．則面積的最大值是_______．

（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．

問題解決：

如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘，且滿足點在上，，點在上，且，點在上，點在上，，這個四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】問題探究：（1）24；（2）存在，的最小值為；問題解決：存在，144

【解析】

（1）根據三角形的面積公式即可得到結論；

（2）如圖2中，連接，，，作于．設．求出的最小值即可解決問題；

（3）如圖3中，連接，延長交的延長線于，將順時針旋轉得到，作的外接圓．由（2）可知，當的外接圓的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大．

解：（1）當時，面積的最大，

則面積的最大值是，

故答案為：24；

（2）如圖中，連接，，，作于．設，

∵，，，

∴，，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴的最小值為1，

∵，

∴的最小值為；

（3）如圖中，連接，，延長交的延長線于，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

將順時針旋轉得到，作的外接交于，

連接，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∵，，

∴，

∴，

由（2）可知，當的外接圓的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大，

設，則，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形的面積的最大值

．