Question

【題目】已知拋物線，其中，直線l是它的對稱軸，把該拋物線沿著x軸水平向左平移個單位長度后，與x軸交于點A、B，在B的左側，如圖1，P為平移后的拋物線上位于第一象限內的一點

點A的坐標為______；

若點P的橫坐標為，求出當m為何值時的面積最大，并求出這個最大值；

如圖2，AP交l于點D，當D為AP的中點時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；

【解析】

（1）設y=0，可求平移前拋物線與x軸的交點坐標，即可求平移后點A坐標；

（2）由題意可求平移后拋物線解析式，即可求點P坐標，由三角形面積公式可求S△ABP（m+1）（4﹣m）（m）2，由二次函數的性質可求解；

（3）過點D作DM⊥AB于M，過點P作PN⊥AB于點N，由題意可求點N坐標，即可求AN=PN=m+6，可證∠PAB=45°．

（1）設y=0，則0（x+1）（x﹣m），∴x1=﹣1，x2=m，∴拋物線y（x+1）（x﹣m）與x軸交點坐標（﹣1，0），（m，0）

∵該拋物線沿著x軸水平向左平移個單位長度后，與x軸交于點A、B，∴點A（，0）

故答案為：（，0）．

（2）∵平移后解析式為：y（x+1）（x﹣m（x）（x﹣m），∴當x時，y=4﹣m，∴S△ABP（m+1）（4﹣m）（m）2

∴當m時，△ABP的面積最大值為；

（3）如圖，過點D作DM⊥AB于M，過點P作PN⊥AB于點N，∴DM∥PN，∴，且AD=DP，∴MN=AM．

∵點M坐標（，0），點A（，0），∴點N（m，0），∴AN=6+m．

當x=m，y= =m+6，∴PN=m+6=AN，∴∠PAB=45°．