Question

【題目】如圖，在△中，，為斜邊上的中點，連接，以為直徑作⊙，分別與、交于點、．過點作⊥，垂足為點.

（1）求證：為⊙的切線；

（2）連接，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）5

【解析】

（1）欲證明NE為⊙O的切線，只要證明ON⊥NE．

（2）想辦法證明四邊形DMCN是矩形即可解決問題．

（1）連接ON．

∵∠ACB=90°，D為斜邊的中點，∴CD=DA=DBAB，∴∠BCD=∠B．

∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB．

∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE為⊙O的切線．

（2）由（1）得到：∠BCD=∠B，∴sin∠BCD=sin∠B．

∵NE=3，∴BN=5．

連接DN．

∵CD是⊙O的直徑，∴∠CND=90°，∴DN⊥BC，∴CN=BN=5，易證四邊形DMCN是矩形，∴MD=CN=BN=5．