Question

【題目】如圖①，二次函數的圖像與軸交于、兩點（點在的左側），頂點為，連接并延長交軸于點，若.

（1）求二次函數的表達式；

（2）在軸上方有一點，，且，連接并延長交拋物線于點，求點的坐標；

（3）如圖②，折疊△，使點落在線段上的點處，折痕為．若△ 有一條邊與軸垂直，直接寫出此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）、

【解析】

（1）函數的對稱軸為x1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐標為（3，0），即可求解；

（2）易證HMA≌△ANC（AAS），則AM=NC=2，MH=AN=4，可求出點H的坐標和直線CH的表達式，將該表達式與二次函數表達式聯立，即可求解；

（3）分C'F⊥x軸、EC'⊥x軸，兩種情況求解即可．

（1）函數的對稱軸為x1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐標為（3，0），將點B的坐標代入二次函數表達式得：

　0=a×32﹣2a×3﹣3，解得：a=1．

故二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3…①，則頂點C的坐標為（1，﹣4），令y=0，則x=﹣1或3，即點A的坐標為（﹣1，0）；

（2）過點A作MN∥y軸，分別過點H、C作HM⊥MN、CN⊥MN于點M、N，如圖1．

∵∠MAH+∠NAC=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAH=∠ACN，∠HMA=∠CNA=90°，AC=AH，∴△HMA≌△ANC（AAS），∴AM=NC=2，MH=AN=4，∴點H的坐標為（3，2），設直線HC的解析式為：y=mx+n，把H、C的坐標代入得：，解得：，故直線CH的表達式為：y=3x﹣7…②，聯立①②并解得：或，即點P的坐標為（4，5）；

（3）①當C'F⊥x軸，設：函數對稱軸交x軸于點G，如圖2，則tan∠GBC，設：BC'=x，則FC'=2x=FC，則BFx，BC=BF+CF=2x，即：x=10﹣4，∴點C'的坐標為（47，0）；

②當EC'⊥x軸，同理可得點C'的坐標為：（9﹣4，0）．

綜上所述：點C'的坐標為（47，0）或（9﹣4，0）．