Question

（滿分13分）如圖11，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點B、C ；拋物線經過B、C兩點，并與軸交于另一點A．

 

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）設是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點M，交直線BC于點N ．

① 若點P在第一象限內．試問：線段PN的長度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；

② 求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）①     ② 

【解析】（1）由于直線經過B、C兩點,令y=0得=3；令=0，得y=3

∴B（3，0），C（0，3）        ……1分

∵點B、C在拋物線上，于是得

                   ……2分

解得b=2，c=3                    ……3分

∴所求函數關系式為  ……4分

（2）①∵點P（,y）在拋物線上，且PN⊥x軸，

∴設點P的坐標為（, ） ……5分

同理可設點N的坐標為（，）     ……6分

又點P在第一象限，

∴PN=PM-NM

=（）-（）

=

=  ……7分

∴當時，

線段PN的長度的最大值為．           ……8分

②解法一：

由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC

∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，

∴設點P的坐標為

又點P在拋物線上,于是有 ∴ …9分

解得           ……10分

∴點P的坐標為： 或  …11分

若點P的坐標為  ，此時點P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，   ，OB=OC=3

 

 

 

 

若點P的坐標為                           ， 此時點P在第三象限，

則

           ……13分

解法二：由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，

又由①知，OB=OC

∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，

∴設點P的坐標為

又點P在拋物線上，于是有

∴    ……9分

解得         ……10分

∴點P的坐標為:

 或 …11分

若點P的坐標為 ，此時點P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，

 ，OB=OC=3

若點P的坐標為    ，   此時點P在第三象限，（與解法一相同）……13分

當點P在第一象限時，△BPC面積其它解法有：

①，BC=

②

       

          （本答案僅供參考）