Question

（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

⑴ 求證：△AMB≌△ENB；

⑵ ①當M點在何處時，AM＋CM的值最小；

②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；

⑶ 當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.

 

 

Answer 1

 

（1）△AMB≌△ENB，證明略。

（2）

①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.

②連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，

AM＋BM＋CM的值最小，圖略

（3）

解析:（滿分13分）解：⑴∵△ABE是等邊三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分

⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小. ………………7分

②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，

AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分

理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分

根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.……11分

⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

設正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF²＋FC²＝EC²，

∴（）²＋（x＋x）²＝. ………………12分

解得，x＝（舍去負值）.

∴正方形的邊長為. ………………13分