Question

【題目】已知：拋物線C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），拋物線C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），稱拋物線C1，C2互為派對拋物線，例如拋物線C1：y＝﹣（x+1）2+1與拋物線C2：y＝（x﹣）2+2是派對拋物線，已知派對拋物線C1，C2的頂點分別為A，B，拋物線C1的對稱軸交拋物線C2于C，拋物線C2的對稱軸交拋物線C1與D．

（1）已知拋物線①y＝﹣x2﹣2x，②y＝（x﹣3）2+3，③y＝（x﹣）2+2，④y＝x2﹣x+，則拋物線①②③④中互為派對拋物線的是　 　（請在橫線上填寫拋物線的數字序號）；

（2）如圖1，當m＝1，n＝2時，證明AC＝BD；

（3）如圖2，連接AB，CD交于點F，延長BA交x軸的負半軸于點E，記BD交x軸于G，CD交x軸于點H，∠BEO＝∠BDC．

①求證：四邊形ACBD是菱形；

②若已知拋物線C2：y＝（x﹣2）2+4，請求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）①與③；①與④（2）證明見解析（3）①四邊形ACBD是菱形②-2

【解析】

（1）先把四個解析式配成頂點式，然后根據派對拋物線的定義進行判斷；

（2）利用拋物線C1：y＝﹣（x+1）2+1，拋物線C2：y＝（x﹣2）2+4得到A（﹣1，1），B（2，4），再計算出C（﹣1，13），D（2，﹣8），則AC＝12，BD＝12，于是可判斷AC＝BD；

（3）①先表示出A（﹣m，m2）；B（n，n2），再表示出C（﹣m，m2+2mn+2n2），D（n，﹣2mn﹣n2），接著可計算出AC＝BD＝2mn+2n2，則可判斷四邊形ACBD為平行四邊形，然后利用三角形內角和，由∠BEO＝∠BDC得到∠EFH＝∠DGH＝90°，從而可判斷四邊形ACBD是菱形；②由拋物線C2：y＝（x﹣2）2+4得到B（2，4），即n＝2，則AC＝BD＝4m+8，再利用A（﹣m，m2）可表示出C（﹣m，m2+4m+8），所以BC2＝（m+2）2+（m+2）4，然后利用BC＝BD得（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，最后利用m＞0可求出m的值．

（1）①y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+12，②y＝（x﹣3）2+3＝（x﹣3）2+（）2，③y＝（x﹣）2+（）2，④y＝x2﹣x+＝（x﹣）2+（）2，

所以①與③互為派對拋物線；①與④互為派對拋物線；

故答案為①與③；①與④；

（2）證明：當m＝1，n＝2時，拋物線C1：y＝﹣（x+1）2+1，拋物線C2：y＝（x﹣2）2+4，

∴A（﹣1，1），B（2，4），

∵AC∥BD∥y軸，

∴點C的橫坐標為﹣1，點D的橫坐標為2，

當x＝﹣1時，y＝（x﹣2）2+4＝13，則C（﹣1，13）；

當x＝2時，y＝﹣（x+1）2+1＝﹣8，則D（2，﹣8），

∴AC＝13﹣1＝12，BD＝4﹣（﹣8）＝12，

∴AC＝BD；

（3）①拋物線C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），則A（﹣m，m2）；

拋物線C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），則B（n，n2）；

當x＝﹣m時，y＝（x﹣n）2+n2＝m2+2mn+2n2，則C（﹣m，m2+2mn+2n2）；

當x＝n時，y＝﹣（x+m）2+m2＝﹣2mn﹣n2，則D（n，﹣2mn﹣n2）；

∴AC＝m2+2mn+2n2﹣m2＝2mn+2n2，BD＝n2﹣（﹣2mn﹣n2）＝2mn+2n2，

∴AC＝BD；

∴四邊形ACBD為平行四邊形，

∵∠BEO＝∠BDC，

而∠EHF＝∠DHG，

∴∠EFH＝∠DGH＝90°，

∴AB⊥CD，

∴四邊形ACBD是菱形；

②∵拋物線C2：y＝（x﹣2）2+4，則B（2，4），

∴n＝2，

∴AC＝BD＝2mn+2n2＝4m+8，

而A（﹣m，m2），

∴C（﹣m，m2+4m+8），

∴BC2＝（﹣m﹣2）2+（m2+4m+8﹣4）2＝（m+2）2+（m+2）4，

∵四邊形ACBD是菱形，

∴BC＝BD，

∴（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，

即（m+2）4＝15（m+2）2，

∵m＞0，

∴（m+2）2＝15，

∴m+2＝，

∴m＝﹣2．