Question

【題目】已知：點A(4，0),點B是y軸正半軸上一點，如圖1，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC.

（1）當點B坐標為(0，1)時，求點C的坐標；

（2）如圖2，以OB為直角邊作等腰直角△OBD，點D在第一象限，連接CD交y軸于點E.在點B運動的過程中，BE的長是否發生變化？若不變，求出BE的長；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C(-1,-3)（2）在B點運動過程中，BE長保持不變，值為2

【解析】

試題（1）過C作CM⊥y軸于M，根據已知條件易證△BCM≌△ABO (AAS) ,根據全等三角形的性質可得CM=BO=1，BM=AO=4，所以OM=3，即可得C(-1,-3)；（2）在B點運動過程中，BE長保持不變，值為2，過C作CM⊥y軸于M，由（1）可知：△BCM≌△ABO，根據全等三角形的性質可得CM=BO， BM=OA=4；在判定△BCM≌△ABO (AAS) ,即可得BE=EM，從而求得BE的長.

試題解析：

（1）解：過C作CM⊥y軸于M.

∵ CM⊥y軸,∴∠BMC=∠AOB=90°,

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵∠ABC=90°,∴∠CBM+∠ABO=90°,

∴∠CBM=∠BAO

在△BCM與△ABO中 ∵

∴△BCM≌△ABO (AAS) ,

∴CM=BO=1，BM=AO=4，

∴OM=3，

∴C(-1,-3)

（2）在B點運動過程中，BE長保持不變，值為2，理由如下：

過C作CM⊥y軸于M，由（1）可知：△BCM≌△ABO，

∴CM=BO，BM=OA=4.

∵ △BDO是等腰直角三角形，

∴BO=BD, ∠DBO=90°,

∴CM=BD, ∠DBE=∠CME=90°,

在△DBE與△CME中，∵

∴△DBE≌△CME(AAS)

∴BE=EM

∴BE=