Question

【題目】如圖，拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經過坐標原點，與它的對稱軸直線x＝2交于A點．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）⊙A與x軸相切，交y軸于B、C點，交拋物線L的對稱軸于D點，恒過定點的直線y＝kx﹣2k+8（k＜0）與拋物線L交于M、N點，△AMN的面積等于2，試求：

①弧BC的長；

②k的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x．（2）①；②k=

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x＝2及拋物線過原點，即可得出關于b，c的方程組，解之即可求出b，c的值，進而可得出拋物線的解析式；

（2）①連接AB，AC，過點A作AE⊥BC于點E，利用配方法可求出點A的坐標，進而可得出⊙A的半徑，在Rt△ABE中，由AE＝AB可得出∠ABE＝30°，進而可得出∠BAE＝60°，由AB＝AC可得出∠BAC＝120°，再利用弧長公式可求出弧BC的長；

②由點A的坐標及⊙A的半徑可得出點D的坐標，將x＝2代入y＝kx﹣2k+8中可得出直線y＝kx﹣2k+8過點D，延長NM，交直線x＝2于點D，過點A作AF∥x軸，交DM于點F，過點A作AP⊥DM于點P，在Rt△ADF中，利用面積法可求出AP的長度，聯立直線MN和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點M，N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出MN的長度，再利用三角形的面積公式結合△AMN的面積等于2，可得出關于k的方程，解之即可得出結論．

解：（1）依題意，得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x．

（2）①連接AB，AC，過點A作AE⊥BC于點E，如圖1所示．

∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴點A的坐為（2，4），

∴AB＝AC＝4．

在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝2，

∴AE＝AB，

∴∠ABE＝30°，

∴∠BAE＝60°．

∵AB＝AC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∴∠BAC＝120°，

∴＝×2πAB＝π．

②∵點A的坐為（2，4），AD＝4，

∴點D的坐標為（2，8）．

∵y＝kx﹣2k+8＝k（x﹣2）+8，

∴當x＝2時，y＝kx﹣2k+8＝8，

∴直線y＝kx﹣2k+8過點D．

延長NM，交直線x＝2于點D，過點A作AF∥x軸，交DM于點F，過點A作AP⊥DM于點P，如圖2所示．

當y＝4時，kx﹣2k+8＝4，

解得：x＝2﹣，

∴點F的坐標為（2﹣，4）．

在Rt△ADF中，AD＝4，AF＝﹣，

∴DF＝，

∴AP＝＝．

聯立直線MN和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點M的坐標為（，），點N的坐標為（，），

∴MN＝＝，

∴S△AMN＝APMN＝2，即××＝2，

∴k2﹣16＝1，

解得：k1＝-，k2＝（舍去），

∴k的值為-．