Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的邊長為6，點分別在正半軸上，點在第一象限．點是正半軸上的一動點，且，連結，將線段繞點順時針旋轉90度至，連結，取中點．

（1）當時，求與的坐標．

（2）如圖2，連結，以、為鄰邊構造平行四邊形記平行四邊形的面積為．

①用含的代數式表示

②當落在的直角邊上時，求的度數．

（3）在（2）的條件下，連結，記的面積為，若，則 (直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②或；（3）或．

【解析】

（1）過點Q作軸于點D，首先證明，則有，進而可求出點F的坐標，再結合點C的坐標，即可求出M的坐標；

（2）①根據（1）中的全等三角形的性質得出M的坐標，然后利用即可求出答案；

②分兩種情況：當N在PC上時和當N在PQ上時，分別利用全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質求出∠CPM和∠MPA的度數，然后利用兩角的和與差即可得出答案；

（3）過點M作軸于點H，過點Q作軸于點G，然后用含t的代數式表示出，然后分兩種情況：點P在A點左側和點P在A點右側，分別建立關于t的一元二次方程求解即可．

（1）過點Q作軸于點D，

∵，

．

∵正方形邊長為6，

，

．

由旋轉的性質得， ，

，

．

，

．

在和中，

，

，

，

．

，

；

（2），

，

．

∵C（0,6），

∴M．

①當時，；

②當N在PC上時，

∵點M的橫縱坐標相等，

∴點M在對角線OB上，

連結OM，

在和中，

∴CM=AM．

在Rt△CPQ中，M為CQ的中點，

∴PM⊥CQ，∠CPM=∠MPQ=45°，PM=CM=MQ，

∴PM=AM．

∵點N在PC上，NP∥AM，∠CPQ=90°，

∴AM⊥PQ，

∴∠PMA=45°，又PM=AM，

∴∠MPA=，

∴∠CPA=45°+67.5°=112.5°；

當N在PQ上時，同理可證MA=MP，∠AMP=45°，

∴∠MPA=，

∴∠CPA=67.5-45=22.5°，

綜上所述，當點N在△CPQ的直角邊上時，∠CPA的度數為112.5°或22.5°；

（3）過點M作軸于點H，過點Q作軸于點G，

當時，即點P在A點左側時，如圖

，

，

解得或（舍去）；

當時，即點P在A點右側時，

，

，

，

解得或（舍去），

綜上所述，t的值為或．