Question

【題目】拋物線y=a（x+2）2+c與x軸交于A，B兩點，與y軸負半軸交于點C，已知點A（-1，0），OB=OC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若把拋物線與直線y=-x-4的交點稱為拋物線的不動點，若將此拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點；

（3）Q為直線y=-x-4上一點，在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=2∠AQB，且這樣的Q點有且只有一個？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x4x3；(2) m≥；(3) P(2,2+)或(2,2).

【解析】

（1）根據函數的解析式可以得到函數的對稱軸是x=-2，則B點的坐標可以求得，求得OB的長，則C的坐標可以求得，把A、C的坐標代入函數解析式即可求得；

（2）根據平移后拋物線的頂點坐標設出拋物線的頂點式，然后根據拋物線與直線的有交點，列方程組，最后根據△≥0，求出m的取值范圍；

（3）設P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，根據切線的性質即可求解．

(1)由拋物線y=a(x+2)+c可知，其對稱軸為x=2，

∵點A坐標為(1,0)，

∴點B坐標為(3,0)，

∵OB=OC，

∴C點坐標為(0,3).

將A(1,0)、C(0,3)分別代入解析式得,

a+c=0

4a+c=3，

解得a=1，c=1

則函數解析式為y=x4x3.

(2)由題意平移后的拋物線的解析式為y=(xm)+2m，

由x4=(xm)+2m,得到：x(2m+1)x+m2m4=0，

∵平移后的拋物線總有不動點，

∴△≥0，

∴4m+4m+14(m2m4)0，

解得m≥.

(3)如圖,設P(2,m),以P為圓心的圓與直線y=x4相切,切點為D,直線y=x4交拋物線的對稱軸于E,則E(2,2)

∴PE=m+2,PD=PE，

∵PA=PD，

∴=1+m，

解得m=2±，故P(2,2+)或(2,2).