Question

【題目】如圖，在⊙O的內接△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2AC，過點A作BC的垂線m交⊙O于另一點D，垂足為H，點E為上異于A，B的一個動點，射線BE交直線m于點F，連接AE，連接DE交BC于點G．

（1）求證：△FED∽△AEB；

（2）若＝，AC＝2，連接CE，求AE的長；

（3）在點E運動過程中，若BG＝CG，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據同角的余角重疊得出∠EAB＝∠ECB，然后根據三角形相似的判定定理判定即可得出結論；

（2）根據相交弦定理得出DH＝AH＝，再根據勾股定理得，BH＝，進而求出BE＝CE＝，進而求出EF＝，FD＝，借助（1）的結論即可得出結論；

（3）根據平行線分線段成比例得出判，根據平行線的性質得出tan∠CBF＝tan∠CGT＝，根據圓周角定理得出tan∠CED＝tan∠ABC，進而得出，再結合已知條件，即可得出結論．

解：（1）∵⊙O的內接△ABC中，∠CAB＝90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∵點E為上異于A，B的一個動點，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠EBC＝90°，

∵過點A作BC的垂線m交⊙O于另一點D，垂足為H，

∴∠FHB＝90°，

∴∠FBH+∠HFB＝90°，

∴∠HFB＝∠ECB，

∵∠EAB＝∠ECB，

∴∠EAB＝∠HFB，

∵∠FBA＝∠ADE，

∴△FED∽△AEB；

（2）∵∠CAB＝90°，AB＝2AC，AC＝2，

∴AB＝4，

根據勾股定理得，BC＝2，

∵AD⊥BC，BC是⊙O的切線，

∴DH＝AH＝＝＝，

在Rt△AHB中，根據勾股定理得，BH＝＝，

∵，BC是⊙O的直徑，

∴BE＝CE，∠ECB＝∠EBC＝45°，

∵BC＝2，∠BEC＝90°，

∴BE＝CE＝，

∵∠FHB＝90°，∠EBC＝45°，BH＝，

∴FH＝BH＝，BF＝，

∴EF＝BF﹣BE＝，FD＝FH+DH＝，

∵△FED∽△AEB，

∴，

∴，

∴AE＝；

（3）如圖，過點G作GT⊥CE于T，

∵∠CEB＝90°，

∴TG∥EB，

∴，∠CGT＝∠CBF，

∴tan∠CBF＝tan∠CGT＝，

∵，

∴∠CED＝∠ABC，

∴tan∠CED＝tan∠ABC，

∴，

∵，BG＝CG，

∴ET＝CT，，

∴，

∴tan∠CBF＝tan∠CGT＝．