Question

【題目】如圖1，我們知道，若點將線段分成兩部分，且，則稱點為線段的黃金分割點．類似的，我們把有一個內角等于的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，是的直徑，點在上，，過點作直線分別交直線和于點、，連接，．

(1)求的度數，并證明是黃金三角形；

(2)求證：點是線段的黃金分割點；

(3)對于實數：，如果滿足，則稱為，的黃金數，為，的白銀數．

①實數，且為，1的黃金數，為，1的白銀數，求的值．

②實數，，，分別為，t的黃金數和白銀數，求的值．

Answer 1

【答案】（1），是黃金三角形證明見解析；（2）證明見解析；（3）①；②或

【解析】

（1）由題意，根據同圓半徑相等和三角形內角和，可求的度數，再由黃金三角形定義可證明是黃金三角形；

（2）由（1）條件證明，再由黃金分割定義問題可證明；

（3）①根據黃金數和白銀數的定義，分別求出對應的a、b的值，則問題可解；

②根據k的正負取值，根據定義分別用k表示m、n，再求出比值即可.

（1）是⊙的直徑，，

，則，

設，則，

又

．

則

又

是黃金三角形．

（2）由（1）得，

，

又

點是線段的黃金分割點．

（3）①為的黃金數，且實數

（舍），

為的白銀數，且實數

（舍）

②分別為的黃金數和白銀數，實數

分兩種情況：i）當時，

由①得：

由②得：

ii）當時，，由①得：

由②得：

綜上， 的值是或