Question

【題目】教材呈現：下圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容.

線段垂直平分線

我們已知知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直一部分線是線段的對稱軸，如圖直線是線段的垂直平分線，是上任一點，連結、，將線段與直線對稱，我們發現與完全重合，由此都有：線段垂直平分線的性質定理，線段垂直平分線上的點到線段的距離相等.

已知：如圖，，垂足為點，，點是直線上的任意一點.

求證：.

圖中的兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，便可證明（請寫出完整的證明過程）

請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程，定理應用.

（1）如圖②，在中，直線、、分別是邊、、的垂直平分線.

求證：直線、、交于點.

（2）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，若，，則的長為_______.

Answer 1

【答案】教材呈現：詳見解析；定理應用：（1）詳見解析；（2）6.

【解析】

教材呈現： 得到，從而

定理應用：（1）連結、、．設直線、交于點．因為直線是邊的垂直平分線，所以 又因直線是邊的垂直平分線， 得到 點在邊的垂直平分線上．得到直線、、交于點． （2）

連接BD，BF，易知AD=DB，BE=EC；又因為∠A=∠C=30°，得到∠DBE=60°，所以∠ABD=30°，得到∠BDE=60°，所以△BED為等邊三角形，所以DE=AC=6

教材呈現：

，

又

．

圖① 圖②

定理應用：

（1）連結、、．

設直線、交于點．

直線是邊的垂直平分線，

又直線是邊的垂直平分線，

點在邊的垂直平分線上．

直線、、交于點．

（2）如圖3，連接BD,BF

由第一問可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE

∵AB=AC

∴∠A=∠C

∵∠ABC=120°

∴∠A=∠C=30°

∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°

∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°

∴△DBE是等邊三角形

∴DB=BE=DE

∴AD=DE=EC

∴DE=AC=6